삼각함수 항등식
삼각함수 항등식(三角函數 恒等式,trigonometric identitiy)은 삼각함수가 나오는 항등식을 말한다.
다음 항등식의 값들은 전부 호도법에 기초하여 작성되었다.
기본
사인(sin) 함수와 코사인(cos) 함수가 주어졌을 때 탄젠트(tan) 함수는 다음과 같이 정의된다.
[math]\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}[/math]
또한 다음 함수들은 사인, 코사인, 탄젠트 함수의 역수로 정의된다.
- 시컨트 : [math]\sec x = \frac{1}{\cos x}[/math]
- 코시컨트 : [math]\csc x = \frac{1}{\sin x}[/math]
- 코탄젠트 : [math]\cot x = \frac{1}{\tan x}[/math]
역함수
- 이 부분의 본문은 삼각함수의 역함수입니다.
다음은 삼각함수의 역함수들이다.
| 함수 | sin | cos | tan | sec | csc | cot |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 역함수 | arcsin | arccos | arctan | arcsec | arccsc | arccot |
[math]\arcsin[/math] 대신 [math]\sin^{-1}[/math] 라고 쓰는 것도 허용된다. 구미 각국에서 사용하는 공학용 계산기에는 이와 같이 표시된 경우도 많다.
피타고라스의 정리
삼각함수의 정의과 피타고라스의 정리에 의하여 다음과 같은 항등식이 성립한다. 이는 단위원을 통하여 쉽게 증명할 수있다.
[math]\sin ^2 x + \cos ^2 x = 1\![/math]
위 식을 이용하면 다음이 성립함을 쉽게 보일 수있다.
[math]\tan ^2 x + 1 = \sec ^2 x \quad \cot ^2 x + 1 = \cot ^2 x\![/math]
삼각함수의 주기성, 대칭성, 평행이동
삼각함수는 다음과 같은 주기성을 가진다.
[math]\sin x = \sin \left(x+2n\pi \right) \quad \cos x = \cos \left(x+2n\pi \right) \quad \tan x = \tan \left(x+n\pi \right) [/math] [math]\sec x = \sec \left(x+2n\pi \right) \quad \csc x = \csc \left(x+2n\pi \right) \quad \cot x = \cot \left(x+n\pi \right) \quad \left( n \in Z \right)[/math]
합각공식, 배각공식, 반각공식
[math]\sin \left(a+b \right) = \sin a \cos b + \cos a \sin b[/math]
[math]\cos \left(a+b \right) = \cos a \cos b - \sin a \sin b[/math]
(합각 공식에서)
[math]\sin 2x = 2 \sin x \cos x\![/math]
[math]\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 1-2 \sin^2 x = 2 \cos^2 x-1\![/math]
차수 낮추기
[math]\sin ^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}[/math]
[math]\cos ^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}[/math]
미적분학
[math]\frac{d}{dx} \sin x = \cos x [/math]
[math]\frac{d}{dx} \cos x = - \sin x [/math]
[math]\frac{d}{dx} \tan x = - \sec ^2 x [/math]
[math]\int \sin x\,dx =-\cos x + C[/math]
[math]\int \cos x\,dx = \sin x + C[/math]
[math]\int \tan x\,dx =\ln \left| \sec x \right| + C[/math]
[math]\int \sec x\,dx =\ln \left| \sec x + \tan x \right| + C[/math]
[math]\int \cot x\,dx =\ln \left| \sin x \right| + C[/math]
