상자 속 입자
농담학회 전서
상자 속 입자 문제(Particle in a Box)는 양자역학에서 기초적으로 다루는 사고실험이다.
1차원, 2차원, 3차원 문제가 있으며, 1차원 문제의 풀이가 가장 쉬우며 기초가 된다.
1차원 상자 속 입자
먼저 길이가 [math]L[/math]이고 무한히 깊은 상자를 상상하자. 이 상자의 벽 너머는 포텐셜 [math]V = \infty[/math]이고, 상자의 내부에서는 [math]V = 0[/math]이다. 즉,
[math] V(x)= \begin{cases} 0, & \mbox{if } 0\ltx\ltL \\ \infty, & \mbox{if } x\lt0 \mbox{ or } L\ltx \end{cases} [/math]
이제 상자 안에서 자유로이 움직이는 정체 불명의 입자 X의 파동함수 [math]\psi[/math]를 구해보자.
그러므로 정규화까지 마친 파동함수 [math]\psi_n[/math]는 [math]\psi_n = \sqrt {\left( \frac{2}{L} \right) } \sin \left( \frac{n \pi x}{L} \right)[/math] 이다.
그러므로, 상자 속 입자의 에너지는 [math]E_n = \frac{n^2 h^2}{8 m L^2} \quad n=1,2,3,...[/math] 이다.
